Download e-book for kindle: Algebra fur Einsteiger. Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3834800953

ISBN-13: 9783834800954

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Explanations have been brought within the mid-1960s via Grothendieck to give an explanation for the analogies one of the a variety of cohomology theories for algebraic kinds, to play the position of the lacking rational cohomology, and to supply a blueprint for proving Weil's conjectures abou the zeta functionality of a range over a finite box.

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Dabei entspricht bei Cardano eine falsche Lösung jeweils der (wahren) Lösung einer anderen Gleichung, bei der x durch (–x) ersetzt wird. Zum Beispiel ist für Cardano –4 eine falsche Lösung der Gleichung x3 + 16 = 12x, weil 4 eine Lösung der Gleichung x3 = 12x + 16 ist11. Aufgaben 1. Berechnen Sie eine Lösung der kubischen Gleichung x3 + 6x2 +9x – 2 = 0. 2. Die kubische Gleichung x3 + 6x – 20 = 0 besitzt x = 2 als Lösung. Wie ergibt sich diese Lösung aus der Cardanischen Formel? 11 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter I.

Dazu wählt man zunächst zur Abkürzung die Bezeichnung 1 2 ζ =− + 3 i 2 und erkennt dann, dass die beiden der Cardanischen Formel zugrunde liegenden Gleichungen (siehe Seite 6) 3uv = − p 3 u + v 3 = −q außer dem bereits in Kapitel 1 angeführten Lösungspaar (u, v) zwei weitere Lösungspaare (ζ u, ζ 2v) und (ζ 2u, ζ v) besitzen, so dass man insgesamt die folgenden drei Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung x3 + px + q = 0 erhält: 20 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen x1 = 3 − q2 + x2 = ζ 3 − q2 + x3 = ζ 2 3 − q2 + q 2 2 p 3 3 + 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ2 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ 3 − q2 − ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) Die Formel für die drei Lösungen gilt ganz allgemein, da bei ihrer Herleitung keinerlei Einschränkung gemacht wurden.

Damit schien der komplizierte Wurzelausdruck tatsächlich gleich 4 zu sein. Bombelli kommentierte: „Ein ausschweifender Gedanke nach Meinung vieler. Ich selbst war lange Zeit der gleichen Ansicht. Die Sache schien mir auf Sophismen mehr als auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte so lange, bis ich den Beweis fand“15. Die gewagten Berechnungen hatten damit eine Erklärung für ein bereits vorher bekanntes Ergebnis geliefert, so wie es entwicklungsgeschichtlich sicher ähnlich der Fall gewesen sein dürfte, als negative Zahlen erstmals als zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs in Betracht gezogen wurden.

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by Christopher
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