Download e-book for iPad: Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

By Gisbert Wüstholz

ISBN-10: 3834819611

ISBN-13: 9783834819611

ISBN-10: 3834886785

ISBN-13: 9783834886781

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Reasons have been brought within the mid-1960s by means of Grothendieck to give an explanation for the analogies one of the a number of cohomology theories for algebraic types, to play the position of the lacking rational cohomology, and to supply a blueprint for proving Weil's conjectures abou the zeta functionality of a range over a finite box.

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Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall. Besitzt die Gruppe eine Kompositionsreihe, so besagt dies, dass man sie schrittweise aus Erweiterungen von Gruppen durch einfache Gruppen erhält. Ist die Gruppe endlich, so besitzt sie immer eine Kompositionsreihe, und die Kompositionsfaktoren sind einfache endliche Gruppen. Dies fassen wir im folgenden Satz zusammen. 7 Eine endliche Gruppe G besitzt eine Kompositionsreihe, deren Faktoren einfache Gruppen sind. Ist die Gruppe sogar auflösbar, so sind die Faktoren zyklische Gruppen von Primzahlordnung.

Beweis Wir müssen lediglich zeigen, dass jeder Zykel ein Produkt von Transpositionen ist. Die dem Zykel σ der Länge l zugeordnete Bahn besitzt die Gestalt {m, σ(m), . . , σ l−1 (m)}. Man überprüft sofort, indem man die linke und die rechte Seite für alle x ∈ Xn auswertet, dass σ = τm,σ(m) τσ(m),σ2 (m) · · · τσl−2 (m),σl−1 (m) G. 1 Permutationsgruppen 47 gilt. Also ist σ ein Produkt von Transpositionen. Ist σ = (m σ(m) · · · σ l−1 (m)) ✷ ein Zykel und τ ∈ Sn eine Permutation, so gilt τ στ −1 = (τ (m) τ (σ(m)) · · · τ (σ l−1 (m))) .

2 11. Zeige, dass in einer Gruppe für g ∈ G, m, n ∈ Z gilt: g m ◦ g n = g (m+n) , (g m )n = g mn . 12. Gibt es eine Gruppe, die Vereinigung zweier echter Untergruppen ist? 13. Es seien Hi , i ∈ I, Untergruppen von G mit der Eigenschaft, dass für alle i, j ∈ I ein k ∈ I existiert mit Hi ∪ Hj ⊆ Hk . Zeige, dass dann H C i∈I Hi eine Untergruppe von G ist. 14. Es seien p, q Primzahlen. Bestimme alle Homomorphismen von Z/pZ nach Z/qZ. Gib auch die Homomorphismen von Z/2Z nach Z/4Z an. 15. Bestimme einen Isomorphismus zwischen (Q+ , · ), den positiven rationalen Zahlen bezüglich Multiplikation, und (Z[X], +), den Polynomen in einer Unbestimmten bezüglich Addition.

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by Daniel
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