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By Guy A. Sedogbo

ISBN-10: 2701125707

ISBN-13: 9782701125701

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Y→L Montrer que : lim g◦f (X) ϭ M. 20 Soient A une partie de ‫ޒ‬n, et f une application de A dans ‫ ޒ‬p, différentiable en → X0 ʦ A. → → Montrer que : ∀ u ʦ ‫ޒ‬n Ϫ {0 }, I ∂f → → ᎏ→ ᎏ ΂X ΃ ϭ d→ f ΂u ΃. 21 Soient A un ouvert de ‫ޒ‬n, et f une application différentiable de A dans ‫ޒ‬. → → On dit que f admet un extremum en X0 ʦ A, s'il existe un voisinage de X0 inclus dans A, → → → sur lequel, X ‫ ۋ‬f ΂X ΃ Ϫ f ΂X0΃, garde un signe constant. → → Montrer que si f admet un extremum en X0, alors la différentielle de f en X0 est nulle.

La partie A est fermée et bornée. D’après le théorème 2, A est une partie compacte. Par conséquent, d’après le théorème 5 : N2 est bornée sur A et atteint ses bornes. D’où : ∃ ␣ Ͼ 0, ∃ ␤ Ͼ 0 / ␣ ϭ inf N2(x), • Posons ␣ et ␤ sont non nuls car Soit x ʦ E Ϫ {0}. x ᎏᎏ ʦ A. On a : N1 (x) 0 ΂ ␤ ϭ sup N2(x). indications et solutions xʦA xʦA A. ΃ x ␣ р N2 ᎏᎏ р ␤. N1(x) Ce qui équivaut à : ␣ N1(x) р N2(x) р ␤ N1(x). De plus, cette proposition reste vraie pour x ϭ 0. Ainsi N1 et N2 sont des normes équivalentes.

Lim f ΂ X ΃ ϭ f ΂ X0 ΃. → → X → X0 → Xʦ B t→0 Théorème 5 → → Si f est continue en X0, alors f est continue en X0 dans toute direction. La réciproque du théorème 5 est fausse. Continuité par rappor t à une variable → Soient A une partie de ‫ޒ‬n, f une application de A dans ‫ ޒ‬p, et X0 ʦ A. → → On désigne par ΂ ␧1, …, ␧n ΃ la base canonique de ‫ޒ‬n. → → On dit que f est continue en X0 par rapport à la variable xi si f est continue en X0 dans la → direction ␧i. Dérivée suivant un vecteur Soient A un ouvert de ‫ޒ‬n, et f une application de A dans ‫ ޒ‬p.

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Analyse, DEUG Sciences 2e année by Guy A. Sedogbo


by Kenneth
4.2

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