Download e-book for iPad: Analysis 2 by Oliver Deiser

By Oliver Deiser

ISBN-10: 3662456923

ISBN-13: 9783662456927

ISBN-10: 3662456931

ISBN-13: 9783662456934

Anschließend an Band 1 werden in diesem Buch diejenigen Inhalte präsentiert, die den Analysis-Zyklus vervollständigen und abschließen. Dabei werden ausführlich die Integration, topologische Grundbegriffe und die mehrdimensionale Differentiation behandelt und zudem Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

Der textual content wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrerinnen und Lehrer. Zahlreiche Aufgaben runden den textual content ab und motivieren eine weitergehende Auseinandersetzung mit dem Stoff. Durch ein hohes Maß an mathematischer Genauigkeit und durch vollständige Beweise bleibt der Anschluss an das Fachstudium gewahrt.

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B) Es gibt monoton steigende g, h : [ a, b ] → ‫ ޒ‬mit f = g − h und var(f ) = var(g) + var(h). (c) Es gibt monotone g, h : [ a, b ] → ‫ ޒ‬mit f = g − h. Beweis (a) impliziert (b): Wir definieren g, h : [ a, b ] → ‫ ޒ‬durch g(x) = 1 ( varf (x) + f(x) ) , 2 h(x) = 1 ( varf (x) − f(x) ) . 2 Dann gilt f = g − h. Für x < y in [ a, b ] gilt nach (d) und (f ): 2(g(y) − g(x)) = varf (y) − varf (x) − (f(x) − f(y)) = var(f |[ x, y ]) − (f(x) − f(y)) ≥ var(f |[ x, y ]) − |f(x) − f(y)| ≥ 0. Also ist g monoton steigend.

Also ist μ monoton. Für beliebige A, B ∈ ᏾ gilt zudem μ(A) + μ(B) = μ(A) + μ((B − A) ∪ (A ∩ B)) = μ(A) + μ(B − A) + μ(A ∩ B) = μ(A ∪ (B − A)) + μ(A ∩ B) = μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B). Eine zentrales Thema der Inhaltstheorie ist das Fortsetzungsproblem: Gegeben ist ein Inhalt μ auf ᐂ und ein ᐃ mit ᐃ ⊃ ᐂ. Man möchte nun μ zu einem Inhalt auf das größere System ᐃ fortsetzen. Der folgende Satz ist ein typisches Beispiel für eine derartige Fortsetzung: Satz (Fortsetzungssatz von Hausdorff: von Verbänden zu Ringen) Sei μ : ᐂ → [ 0, ∞ [ ein Inhalt auf einem Verband ᐂ, und sei ᐃ = { ഫ1 ≤ k ≤ n (Ak − Bk) | Ak, Bk ∈ ᐂ für alle k ≤ n, und die Mengen Ak − Bk sind paarweise disjunkt } .

Dabei kann nicht jede integrierbare Funktion ihren Mittelwert annehmen. Zum Beispiel nimmt 1[1/2, 1] : [ 0, 1 ] → ‫ޒ‬ ihren Mittelwert 1/2 nicht an. Dieser Fall kann nicht eintreten, wenn die Funktion keine Werte auslässt: Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬integrierbar, und der Wertebereich von f sei ein Intervall [ c, d ]. Weiter sei g : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ integrierbar, I(g) > 0, und f g sei integrierbar. Dann gibt es ein p ∈ [ a, b ] mit f(p) = Mg (f ) = I(f g) .

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Analysis 2 by Oliver Deiser


by Kevin
4.1

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