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By Dr. phil. Peter Kall (auth.)

ISBN-10: 3322921468

ISBN-13: 9783322921468

ISBN-10: 3519023555

ISBN-13: 9783519023555

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Example text

B I < e, also bE (1. - e,.!. + e) 'V n > N(e), n ungerade. Fiir e = 1. und n n n 4 n;;;' 5 ist es aber offenbar unmoglich, d~ gleichzeitig b E (1 - e, 1 + e) und b E ( *- * e, +e) gilt; also hat {bn}nE Nkeinen Grenzwert. Analog zeigt man, d~ {dn }n>l nicht konvergent ist. 3 an~a = 'Ve>O 3N(e):lan-alN{e). Damit ist auch klar, wann {an}nEN nicht gegen a konvergiert: an fa = 'Vm E N 3 n>m mit I an - al;;;' e. 3 nur durch fur Gegenteil ersetzen, also negieren. Da die Negation von Bedingungen oder Aussagen gelegentlich Schwierigkeiten bereitet, wollen wir sie in diesem Fall einmal im Detail durchflihren: Die Aussage [A: 'V e>O 3 N{e): Ian - al N(e)] konnen wir auch so schreiben: [A: 'V e > 0 gilt B], wobei die Aussage B nun lauten m~ [B: 3 N(e): Ian - al < e 'V n > N(e)].

Oo ~ = O. Offen bar gilt n 2 'v'n;;;'l. Flir b =an+l =(n+ll. (n+l)k n ~ 2n+1 nk 2 n =~(I+~r gilt,da (1+~)-+1' 1 bn -+"2. Folglich existiert ein No EN derart, daE b Flir n n <~4 'v'n > No. > No + 1 gilt dann ~ = al . b 1 . b 2 ..... b NO . b NO + 1 ..... 2 eine Nullfolge und (al . b 1 ..... 9 also {cn }n> No+ 1 eine Nullfolge. Dann ist wegen 0 < ~ < cn auch {~}n~ 1 eine Nullfolge. 4 Haufungspunkte von Folgen 63 Obungsaufgaben n 4 + 4n 2 + 4 3n + 2 1 n 2 + 3n + 2 cn = an . bn konvergent? 1. n = - - - - - , n E N, und bn = -::------::---, n E N.

9 also {cn }n> No+ 1 eine Nullfolge. Dann ist wegen 0 < ~ < cn auch {~}n~ 1 eine Nullfolge. 4 Haufungspunkte von Folgen 63 Obungsaufgaben n 4 + 4n 2 + 4 3n + 2 1 n 2 + 3n + 2 cn = an . bn konvergent? 1. n = - - - - - , n E N, und bn = -::------::---, n E N. 1st {Cn}nEN mit 2. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: n2 + n. b) l' 1 __ I __ '---, a) Iim - - , 1 m -. n -+00 n 2 - n n -+00 n n n3 + 2 1--n+l n6 + n S (a+.!. /n 3 + 3n + 1 c) lim -,-_n--,-_ _ d) lim n-+ oo n-4 n-+ oo 1 n n+l r- . t+l tn-l n -+00 t - 1 t n + 1 e) hm - - .

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Analysis für Ökonomen by Dr. phil. Peter Kall (auth.)


by George
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